さんすうLAB.のblog

さんすうLAB.(さんすうラボ)は兵庫県西宮市・夙川にある灘中、算数オリンピックを目指す子ども達のための中学受験算数専門の教室です。

2015年01月


灘中入試を20分で解こう④
2015 灘中 1日目7 
2015灘中1日目7
2015灘中1日目7解説-1

2015灘中1日目7解説-2



解説は以上なのですが、受験生が困った問題のひとつです。

これも20112日目1をきちんと正しく学習しておけば、簡単でした。


後期速さ④
BlogPaint

ある地点
PABの先頭同士がちょうどすれ違い,6秒後にAの最後尾とBの先頭が
すれ違いました。
さらにその
4秒後に,地点Pから150m離れた地点Qで,Aの先頭と
Bの最後尾がすれ違い,
その後,地点
Pから上り列車の進む方向に78m離れた地点R
ABの最後尾同士がすれ違いました。
ただし人も列車も一定の速さで進むものとします。
上りの貨物列車Aと下りの貨物列車Bが,それぞれ一定の速さで平行に走っています。

(1)
 ABの最後尾同士がすれ違ったのは,先頭同士がすれ違ってから何秒後ですか。




2015灘中1日目7解説2

実は、今回の問題で一番難しいのは87をどこで使うかです。

上の線分図はその意思決定を手助けする役割を担っています。


今回、多くの受験生ができなかった原因は、通過算を式のみで解いてきたからだと思います。

一部の塾では、スピードアップのため、すべて割り算の式で表記して比をはめこむことが通過算だと指導しています。

ニュートン算も然りです。

では、この問題を解くために必要な思考はどうだったのでしょうか?

2015灘中1日目7解説3


いちばん下の選択肢まで辿り着いたら、この問題の本質が見えてきます。

○○するな、○○でなければならないという指導は愚の骨頂だと思います。

通過算の身につけ方としては、5年生のうちに、作図していく過程で、
書かずとも想像できるようになって、自らの手で省略できるようになるのが理想です。

本番で最善の一手の選択をするために、十手の選択肢が必要で、
その選択肢を増やしていくのが、授業の役割です。

逆にその選択肢から選びだすのは、自分自身です。

 

子どもたちを見守っていく僕ら大人も、これから大きな世界に羽ばたいていく彼らのために、
自分たちの経験を的確に伝えなくてはいけません。

その勉強は自由の翼をもいではいませんか?

 

1問一手の勉強では、自分では何も出来るようにはなりません。

1週間後ではなく、未来のために、

皆が困っているときに明確なビジョンが立てられるように

 

自分らしく、自分の足で強く歩んでください。

僕たちは、ずっとそばで、背中を押してあげたいと思います。


さんすうLAB.主宰 倉田泰成
 

灘中入試を20分で解こう③

2015年 灘中 1日目6 
2015灘中1日目6


元の小数の
83は小数15位と16位。12位と13位にするには右に3つ小数点をずらすとよい。
2015灘中1日目6解説

43×0.2510.7543×0.2611.18  よって①=11



元の小数の39は小数9位と10位。12位と13位にするには左に3つ小数点をずらすとよい。

2015灘中1日目6解説2

43×0.093.8743×0.14.3  よって②=4







今年度の問題は、きちんとした準備をしていた子どもたちにとっては、
非常に取り組みやすかった問題だと思います。

この問題で使う考え方は

①循環小数は単独で繰り返すだけでなく、同じ分母をもつ者同士も、同じ仲間になる

②範囲の考え方



①は20105、②は近年では20134他にもたくさん出ている考え方です。

2015灘中1日目6解説3

このように、同じ数字群を順番を変えただけになっています。
この問題で、大切なことは
2010年の過去問は2/7までしか出てこないということです。

☆の部分まで考えを巡らしておけば、サービス問題でした。
過去問の訴えるメッセージをつかみとらないと未来問が自力で解けるようにはなりません。

個人的には循環小数においてもう一つ気になる論点があるのですが…

 


ちなみにラボでは、

No.5
BlogPaint
BlogPaint


というかたちでみんなで学習しました。

⑯の答えは、もちろん142857です。



 
さんすうLAB.主宰 倉田泰成

2015 甲陽学院中 入試問題 解答・解説 
1日目1(1)

甲陽中学らしい問題を一問ご紹介したいと思います。
ぜひ新
6
年生のみんなに解いてもらいたい問題です。
2015甲陽1日目1


32
3726294942+48+あ

83


頑張って外角定理を使いまくった算数が得意な5年生もいると思います。

ところで、5年生を終えると、誰もが知っている多角形の外角の和が360度という定理を知っていますか?



いえ、外角の和が
360
度になぜ決まっているのか知っていますか?



説明の仕方は大きく分けて
2通りあります。

 


①式を使う

N角形の場合

外角+内角=180×N

内角の和=180×(N2)

この差が360

 


②鉛筆くるくる

図のように鉛筆を外角に沿うように回転させてやると閉じた平面では必ず元に戻ります

2015甲陽1日目1解説

この考え方ができれば上の式の意味は分かりますね。

右辺は時計回り、左辺は反時計回りの和を示しています(左下の42度をスタートとした場合)。


ラボでは、
5年生で鉛筆くるくるを使った外角定理のみ紹介して、
6年生後半でどうしようもない角度和求めのとき、最後の考え方として学習しています。

この考え方ができれば、角度ちょうちょうや角度集めが全く不要になるので、
子どもたちが、便利すぎて、こればっかり使って、外角定などをやってくれなくなるので、
最後に持ってきています。
灘中タイプの模試の過去問にもたくさん使えますので、解説が不要になります。

 


5年修了時にこのような考え方ができる子は、今までやってきた学習方法が、
おそらく最難関に即したものだと思うので、このまま歩んでほしいと思います。

延長して角度ちょうちょうや四角形の内角の和をがんばって繰り下がり計算を間違わないようにという人は、もしかしたら、違う方向に進んでいるのかもしれません。

算数と数学の違いはそこで、ルールや知識が少ない分、五感をフルに稼働させ、
問題から何かを感じ取る力を高めるのが算数の役割だと思います。

 


もっと算数って楽しいですよ。もっと自由な科目です。

 


甲陽1問目、この問題ができた人は間違いなく、あともうまくいったと思います。

ちなみに、鉛筆くるくるで何でも解けることは、浜学園時代の担任だった子で、甲陽に進学した生徒が、学校で習った面白かった問題として教えてくれたことです。


さんすうLAB.主宰 倉田泰成

2015 灘中 入試問題 解答・解説 
2日目 2
2015灘中2日目2

(1) 略


(2)
 略 


(3)
 Aの濃さに注目
2015灘中2日目2解説


下の分数をラボでは分子分母等差数列と呼んでいます。

灘中は、分数については、かなり深い特徴を毎年出題しているので、
まだ出題されていない特徴を、思い巡らしたときに出てくるいくつかの特徴のうちのひとつです。

分子と分母がともに等差数列のとき、真ん中の分数は両隣の分数を混ぜ合わせたものになります。


(
)
2015灘中2日目2解説2

実はこの問題、すごく古くからある問題で、塾によってはテキストに掲載されている
360個の貝殻を年齢比で3兄弟が分ける』という問題と本質的に同じです。

(皆さん気付いていませんが…的中ですね)

その問題が、最近ある学校でリメイクされ出題されていました。
ラボでは、その問題を、分数の他の特徴とともに、分数の性質のひとつとして学習しました。


後期
No.27 数の性質⑤

BlogPaint

36000円のお年玉を3人の兄弟が年令の比によってわけます。
例えば長男が
21才,次男が18才,
三男が15才であれば
長男は
14000円,次男は12000円,三男は10000円もらうことになります。
もし,今から2年後に3人の年令の比に分けると次男のもらえる金額は現在よりも200円少なくなるといい,
またもし,今から
2年前に3人の年令の比に分けていたならば
次男のもらえる金額は現在よりも
300円多くなっていたといいます。
このとき現在の次男の年令は    才です。


2015灘中2日目2解説3
 

ちなみに年齢の和は36000円の約数とは限りませんし、ましてや年齢算ではありません。
本質を見抜こうとしないで、解答を丸のみすることはただの問題の浪費です。

この問題が的中か否かは、この分数の特徴を捉えるところまでできたかどうかにかかっています。
約数をくまなく調べても、ただの時間の浪費で灘のメッセージを受け取ることはできません。

 


ここ2年、灘中の問題は過去問をひねるのではなく、過去問を学習したうえで、
何を準備するかということまで要求しているような気がします。

ラボでは当日、教室に来ていた子どもたちと水問題をやりました。
2日目の1番は水問題だったのですが、まったく出ていない水問題は過去問だけでは準備できません。

まったく出ていなかったものが昨年、一昨年と1日目で他の論点(平均の高さ、台形センターライン)
として出していたのですが、
もしかしたら過去問を解いていて、自分でもっとこの分野の問題を解いてみようという姿勢で勉強して欲しい
というひとつのメッセージだったのかもしれません。

 


今も昔も変わらず、灘の伝統だと思いますが、与えられた世界から踏み出す勇気のないものは、校風に合いません。

今年、灘中の門を叩くみんなにも今と変わらず勉強に向き合ってほしいと思います。


さんすうLAB.主宰 倉田泰成

2015 灘中 入試問題 解答・解説
2日目 3
2015灘中2日目3


(1)略

(2)
BlogPaint
2015灘中2日目3解説2

(3)

656463626129332(通り)

今回、使った考え方はあまり分類という考え方で、数学でも重要な考え方のひとつです。

灘中の過去問題でも20091日目6番、甲陽中学校でも2009年に出題されていますが、
例えば、書き出しや規則性、場合分けという考え方で解説がつけられていました。

 

実は本問は数年前、ある中学校で出題されていたもののリメイクです。
ラボではあまり分類という単元で学習しました。


後期
No.25 数の性質②

BlogPaint
 

(1)  さいころを4回投げたときに出た目の和が6の倍数になるのは何通りありますか。
(2)  さいころを4回投げたときに出た目の和が5の倍数になるのは何通りありますか。

ただし目が出る順番が異なるものは別のものとして数えることとします。

 


(1)    6×6×6×1216(通り)

(2) 6362611259(通り)


同じような問題を、某大手塾の灘中○○で出題されていたのを、
新聞の折り込み広告で拝見したこともあります。

残念ながら、解説のほうは、和が5のとき,10のとき,15のとき…という場合分けでしたが…

 

今年度は過去問の本質を見抜いていれば簡単に解き筋が見つかる問題が数多く見受けられました。

灘中対策に過去問が不可欠なことは、言うまでもありませんが、
時間を計って点数をつけて、時間配分を身につけるだけでは不十分です。

 

解説を鵜呑みにしては真実にたどり着けません。

算数と仕事として関わり始めて16年、やっと気付いたことがあります。

以前いた浜学園で灘中オープンを作成する際、過去問をひねることばかり考えていましたが、
それよりその問題の本質を抽出し分かりやすく伝えることが、
僕たちのなすべき仕事ではないのかということです。



問題は、子供たちを困らせるために用意されるものではありません。
真実を伝えるために用意すべきものだと思います。



解説を読む勉強は意味を成しません。
解説を読めという指導をするなら、今年の灘中の入試問題を受けて解説を書きなおすべきです。



今回この問題が解けたかどうかは、和で場合分け以外にどれだけの視野があったかということで決まります。

この問題に限らず、今年度の問題は非常にシンプルで手数の少ない問題が多かったように思います。



1日目も2日目も最短の手筋で解けば20分はかかりません。
ラボで子どもたちに伝えていることですが、
20分の手筋を身につけることは灘中対策ではありません。その3倍の60分間手が出せるだけの考え方を身につけるためにその10倍の視野の広さを養っていくことが本当の灘中対策だと思います。
子どもたちがチャレンジするのは、未来につながる入試です。
過去につながる過去問を、未来につなげるものにする作業は、
もしかしたら子どもたちがこれから担っていく研究や仕事につながるものかもしれません。


さんすうLAB.主宰 倉田泰成

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