さんすうLAB.のblog

さんすうLAB.(さんすうラボ)は兵庫県西宮市・夙川にある灘中、算数オリンピックを目指す子ども達のための中学受験算数専門の教室です。

2024年01月

2024灘中1日目_6

【解説】EFGHはカプレカ数なので、6147

    残りの数は2358

    よって与式は、853223586174となり8532



今回は、思いっきり論理破綻している解説をやってみました。

別にふざけているわけではありません。

今回はこの解説から灘対策のあるべき姿を模索してみようと思います。

 

カプレカ数とは

『定義』整数の桁を並べ替えて、最大にしたものと最小にしたものとの差を取る。
この操作によって元の値に等しくなる数をカプレカ数と呼ぶ。

 

本問においては、ABCDDCBAの操作のこととなります。

一般的に4桁のぞろ目以外の整数はこの操作を複数回やると必ず6174に収束することが知られています。

 

例  2024399662644176617461746174→…

 

賢明な読者のかたはここでお気づきだと思いますが、この問題の答えの候補(ABCDDCBA)6174だけではありません。

39966264432112343704も考えられます。

ですから、この解説は論理破綻しているのです。
分かりやすく言い換えると、
6174は答えの一候補ではあるが、他にも候補はあるため、数学でいうところの十分条件ではあるが必要十分条件にはなっていないため解説として不適切ということです。

 

実際に私が解いたプロセスをご紹介します。

 

1から8の和は369の倍数

ABCDDCBAは各位の和が等しいので、差であるEFGH9の倍数

よって残りのA,B,C,Dの和も9の倍数

 

1+2+3+4105+6+7+826よりA,B,C,Dの和、E,F,G,Hの和はそれぞれ18と決まる

2024灘中1日目_6-2

繰り上がりと1の位に注目すると

AD7のとき→E7  H3

AD6のとき→E6  H4

AD5のとき→E5  H5

AD4のとき→   …

AD3のとき→   …

 

ここで、F+G8と確定して(17)(26)(35)の組み合わせしかない

 

ここまでを一番上の式から読み取ることができれば、

(E,F,G,H)の組み合わせは(7,2,6,3)(6,1,7,4)しかなく

 

それぞれのとき、残りがABCDとなり

(E,F,G,H)  (A,B,C,D)   ABCDDCBAEFGH

(7,2,6,3)  (1,4,6,8)    864114687173  不適

(6,1,7,4)  (2,3,5,8)    853223586714  適する

 

 

使った技術は『9で割ったあまり分類』と『位取り』です。

この2つの技術すら学習していない(例えば虫食い算早く答えを見つけようトレーニング)は論外ですが、位取りの後の答えの絞り方がこの問題で制限時間内に解にたどり着くかどうかの分岐点です。

 

使った考え方は『範囲を絞る』と『9の掛け算の特徴』、

9の段は1の位が1ずつ小さくなっていくため、EFGHの組み合わせ(並びではない)2パターンしかないのです。

この2パターンまで絞るところの論理展開が勝負の分かれ目と言っていいでしょう。

 

もう一度今書いた直前の2段を読み返していただきたいのですが、上段は論理展開ですが、下段は視野の広さだと思います。

 

私が実際に解いたときには、位取りの式を立てた段階でカプレカ数の証明とリンクしたので、
カプレカ数
6174の裏の2358が各位の和が18であることを確認して

853223586174から解きました。

 

これはいわゆるメタ解きですね。

子どもたちにする解説としては下です。

 

ただ、答えを出すだけならこの問題の要件(1つしかない証明は不要かつ見つけるだけでいい)を満たしていますので、カプレカ数を紹介してみました。

 

この問題はいろんな塾の先生からご質問を受けたので解説を丁寧に作ってみました。

 

この問題を見てカプレカ数さえ思いつかないという指導者はいないと思いますが、
カプレカ数しか思いつかない指導はさらにそれよりレベルが低い、
言い換えると、論理のいろはさえ分かっていない指導だと思います。

 

 

以前ある塾の灘中オープンでアフリカの地図が掲載され最低何色で塗られるか?という問題が出題されていました。

所謂、4色問題ですが、この証明は、ケンプという数学者が1回解いたのですが、のちに間違いが見つかり、コンピューターによって端的に言えばしらみつぶしで解決されました。この証明はエレガントな解法をもじってエレファントな解法と揶揄され、いまだエレガントな解法は見つかっていません。

 

もしこの問題に興味があれば、ロビンウィルソン著茂木健一郎訳の四色問題(新潮文庫)を読むことをお勧めします。

 

私は読むのに丸2日かかりました。時間がないかたはNHKの笑わない数学でもやっていました。内容はないですが…

 

私は、四色問題やカプレカ数などを覚えさせるのは算数の教育ではないと思います。

 

もし、この対策を続けるなら172924153319581254312065344がタクシー数であることを覚えることが究極の灘中対策になりますね。

 

数の単元のさんすうLAB.のカリキュラムとしては前期はなるべく技術を広げ、後期は視野を広げることに重点を置いています。

 

本問でいうと、9の倍数判定法や位取りの立式は前期の間に、範囲を絞ったり、9の段の特徴は、後期に特に力を入れている内容です。

 

数の問題は、視野の広さが解ける問題の幅を広げます。

タクシー数や四色問題は、数という王国のなかの、辺鄙な片田舎の通貨くらいの程度でしかありません。

 

この問題を「カプレカ数覚えてたら早いよね」というのは、算数の教育としては逆効果です。

下手な当日解説や論理破綻している解説を大きな声でいうのは迷惑でしかありません。

最近、YouTubeなどですぐに解説をするのが、個別指導教室のプロパガンダの王道手段ですが、検索という行為は自分が興味ある部分だけの声のボリュームを上げているのと同じで、ついつい目立つものに目が行きがちです。

目立つものはすぐに目につくから目立つのであって、灘の対策の真髄は人の目が届かないところまで心が配れるかどうかということです。

 

話は変わりますが、今年度もこのブログをUPするまでの間、毎日なるべく入試会場に足を運んでいました。

 

前からずっと言い続けていることですが、とりあえず、入試期間中は6年生の指導をしていた私たちは問題について口を慎むべきです。
関西の中学受験は最難関は木曜日の洛星後期まで続きます。
子どもたちの気持ちが分からないユーチューバーは子どもたちが必死に未来と向き合っている受験を汚してはなりません。

 

『入試問題を入試期間中にYouTtubeで語らない』というボリュームを上げることができれば、いいのですが…

レベルが低いうえに声だけがでかい灘中指導には辟易します。

 

また、6年生をお子さまをどこにお預けしようかご検討のみなさんは、この問題をご質問していただくと、灘中に合格するメソッドをお持ちかどうかの試金石になると思います。

さんすうLAB.主宰
倉田泰成

2024灘中1日目_8
【解説】

2024灘中1日目_8-2

合同回転で色をつけた三角形は合同

三角形FHIは二等辺三角形

(18054)÷263

180(5427)99



今年度も始まりました『灘中入試を
20分で解こう』

 

さんすうLAB.で『過去問WEB講座』を開設したので、辞めようと思っていたのですが、
多くのかたのリクエストをいただき
(主に塾関係の方ですが)数問だけ扱ってみようと思います。

 

今年度は、データが示す通り近年でもかなりの易化であり、灘中らしい問題は少なかったと思います。他の最難関が軒並み良問をそろえてきたので、少し残念なところもありますが、その中でも灘中らしい学習効果の高い問題を題材として、これからの灘中対策について議論を深めたいと思います。

 

弊著、『問題を解くということ』もおかげさまで、ずっと売れ行きが好調で、今年度中に第二弾『灘中入試問題の解説の解説』を出版すべく執筆中です。

 

今回のブログは、それと同様に灘中の入試問題の単なる解法だけでなく、その解法をいかにして考えるか、またそのためにいかなる準備をすべきかということを主に述べたいと思います。

 

さて、本問ですがキーワードは『合同回転』

今入試で合格した子どもたちもこの『合同回転』を口をそろえていっていました。

またその中でもさらに印象的だった言葉を抜粋します。

『…、正方形が2つあって…』

まさしくこの言葉がこの問題の本質です。

FHに五角形の対角線と同じ長さの補助線を引くことが今回の解法ですが、そのためには色をつけた三角形が合同であることを見つけなくてはなりません。

 

私の教室ではこの考え方のことを単に合同ではなく、合同回転という言葉で学習しています。

同じ長さの2組の直線(CDFD,ADHD)が同じ角(本問は正方形の90)がこの形をイメージするための突破口となります。

 

 

『合同回転』という四字熟語は『合同』と『回転』という2つの要素から成り立っています。

ラボでは算数における技術として『言語化』を最重要視して指導しています。

合同回転や直角クロスなどはその最たる例で、このように分かりやすい名前をつけるということは知識にタグ付けをするようなもので、平たい詰め込み学習にくらべ、格段に本番で発揮できる可能性が高くなります。

 

最近、町にいっぱいできている『ちょこザップ』というジムがあります。

ライザップが手掛ける手軽なジムですが、とても素敵なネーミングだと思いませんか。

 

このネーミングが素晴らしいのは、この短いキャッチーな言葉だけで何をやっているのか私が説明をする必要もなくなんとなくイメージできることです。また、今回の件とは関係ありませんが、ライザップという本体のネームバリューも高める効果もあります。

 

図形はこのように言語化して対策するとかなり取りやすい単元だということができます。逆に類型化せずドリル形式では、本番のときにアイデアは出てきません。

 

ちょこザップとユークリッド互除法ってどちらがそのものの本質を言い当てていますか?

次回はカプレカ数についてです(笑)。


さんすうLAB.主宰
倉田泰成

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